Question

6．若f（x）=e^x+ae^-x為偶函數(shù)，則f（x-1）＜$\frac{{e}^{2}+1}{e}$的解集為（0，2）．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求出a的值，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：∵f（x）=e^x+ae^-x為偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），即e^-x+ae^x=e^x+ae^-x，則a=1，
即f（x）=e^x+e^-x，
由f（x-1）＜$\frac{{e}^{2}+1}{e}$得e^x-1+e^-（x-1）＜$\frac{{e}^{2}+1}{e}$=e+e^-1，即f（x-1）＜f（1），
即f（|x-1|）＜f（1），
又當(dāng)x≥0時(shí)，f′（x）=e^x-e^-x=$\frac{{e}^{2x}-1}{{e}^{x}}$＞0，
即函數(shù)f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，
則|x-1|＜1，即-1＜x-1＜1，解得0＜x＜2，
所以不等式的解集為（0，2），
故答案為：（0，2）

點(diǎn)評 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)條件求出a的值，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．