Question

16．已知橢圓C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，F(xiàn)₁、F₂分別為橢圓的上、下焦點，過點F₂作直線l與橢圓C交于不同的兩點A、B，若△ABF₁周長為4$\sqrt{2}$
（1）求橢圓C的標準方程
（2）P是y軸上一點，以PA、PB為鄰邊作平行四邊形PAQB，若P點的坐標為（0，-2），$\frac{1}{2}$≤$\frac{|{F}_{2}A|}{|{F}_{2}B|}$≤1，求平行四邊形PAQB對角PQ的長度取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，4a=4$\sqrt{2}$，a²=b²+c²，解出即可得出．
（2）F₂（0，-1）．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）.$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=$λ\overrightarrow{{F}_{2}B}$，$\frac{1}{2}≤λ≤$1．-x₁=λx₂．由于四邊形PAQB是平行四邊形，可得$\overrightarrow{PQ}$=$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$=（x₁+x₂，y₁+y₂+4）．
設(shè)直線AB的方程為：y=kx-1，與橢圓方程聯(lián)立化為：（k²+2）x²-2kx-1=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：k²=$\frac{-2（1-λ）^{2}}{{λ}^{2}-6λ+1}$，可得：k²∈$[0，\frac{2}{7}]$．由于$|\overrightarrow{PQ}|$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}+{y}_{2}+4）^{2}}$=$\sqrt{16-\frac{28{k}^{2}+48}{{k}^{4}+4{k}^{2}+4}}$，令k²=t∈$[0，\frac{2}{7}]$，f（t）=$\frac{7t+12}{{t}^{2}+4t+4}$，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）由題意可得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，4a=4$\sqrt{2}$，a²=b²+c²，解得a=$\sqrt{2}$，b=c=1．
∴橢圓C的標準方程為：$\frac{{y}^{2}}{2}+{x}^{2}$=1．
（2）F₂（0，-1）．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）.$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=$λ\overrightarrow{{F}_{2}B}$，$\frac{1}{2}≤λ≤$1．
-x₁=λx₂．
∵四邊形PAQB是平行四邊形，
$\overrightarrow{PQ}$=$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$=（x₁+x₂，y₁+y₂+4）．
設(shè)直線AB的方程為：y=kx-1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{\frac{{y}^{2}}{2}+{x}^{2}=1}\end{array}\right.$，化為：（k²+2）x²-2kx-1=0，
∴x₁+x₂=$\frac{2k}{{k}^{2}+2}$，x₁x₂=$\frac{-1}{{k}^{2}+2}$，-x₁=λx₂．
可得：k²=$\frac{-2（1-λ）^{2}}{{λ}^{2}-6λ+1}$=$\frac{2}{\frac{4}{λ+\frac{1}{λ}-2}-1}$．
λ=1時，k=0．
$λ∈[\frac{1}{2}，1）$時，k²∈$（0，\frac{2}{7}]$．
綜上可得：k²∈$[0，\frac{2}{7}]$．
∴y₁+y₂=kx₁-1+kx₂-1=k（x₁+x₂）-2，
∴$|\overrightarrow{PQ}|$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}+{y}_{2}+4）^{2}}$
=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}+[k（{x}_{1}+{x}_{2}）+2]^{2}}$
=$\sqrt{（\frac{2k}{{k}^{2}+2}）^{2}+（\frac{2{k}^{2}}{{k}^{2}+2}+2）^{2}}$
=$\sqrt{\frac{16{k}^{4}+36{k}^{2}+16}{{k}^{4}+4{k}^{2}+4}}$=$\sqrt{16-\frac{28{k}^{2}+48}{{k}^{4}+4{k}^{2}+4}}$，
令k²=t∈$[0，\frac{2}{7}]$，f（t）=$\frac{7t+12}{{t}^{2}+4t+4}$，
f′（t）=$\frac{7（{t}^{2}+4t+4）-（7t+12）（2t+4）}{（t+2）^{4}}$=$\frac{-（7{t}^{2}+24t+20）}{（t+2）^{4}}$＜0，
∴函數(shù)f（t）在t∈$[0，\frac{2}{7}]$上單調(diào)遞減，∴f（t）∈$[\frac{343}{128}，3]$．
∴$|\overrightarrow{PQ}|$∈$[2，\frac{13\sqrt{2}}{8}]$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、向量坐標運算性質(zhì)、平行四邊形法則、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的大小極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．