Question

2．設(shè)x³+ax+b=0，其中a，b均為實(shí)數(shù)，下列條件中，使得該三次方程僅有一個(gè)實(shí)根的是①③④⑤（寫出所有正確條件的編號(hào)）
①a=-3，b=-3．②a=-3，b=2．③a=-3，b＞2．④a=0，b=2．⑤a=1，b=2．

Answer 1

分析 對(duì)五個(gè)條件分別分析解答；利用數(shù)形結(jié)合以及導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)區(qū)間以及極值．

解答 解：設(shè)f（x）=x³+ax+b，f'（x）=3x²+a，
①a=-3，b=-3時(shí)，令f'（x）=3x²-3=0，解得x=±1，x=1時(shí)f（1）=-5，f（-1）=-1；
并且x＞1或者x＜-1時(shí)f'（x）＞0，
所以f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）都是增函數(shù)，
所以函數(shù)圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，故x³+ax+b=0僅有一個(gè)實(shí)根；如圖

②a=-3，b=2時(shí)，令f'（x）=3x²-3=0，解得x=±1，x=1時(shí)f（1）=0，f（-1）=4；如圖

③a=-3，b＞2時(shí)，函數(shù)f（x）=x³-3x+b，f（1）=-2+b＞0，函數(shù)圖象形狀如圖②，所以方程x³+ax+b=0只有一個(gè)根；
④a=0，b=2時(shí)，函數(shù)f（x）=x³+2，f'（x）=3x²≥0恒成立，故原函數(shù)在R上是增函數(shù)；故方程方程x³+ax+b=0只有一個(gè)根；
⑤a=1，b=2時(shí)，函數(shù)f（x）=x³+x+2，f'（x）=3x²+1＞0恒成立，故原函數(shù)在R上是增函數(shù)；故方程方程x³+ax+b=0只有一個(gè)根；
綜上滿足使得該三次方程僅有一個(gè)實(shí)根的是①③④⑤．
故答案為：①③④⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系；關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合、利用導(dǎo)數(shù)解之．