Question

2．如圖所示，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，BD⊥AC于O，且AA₁=OC=2OA=4，點(diǎn)M是棱CC₁上一點(diǎn)．
（Ⅰ）如果過A₁，B₁，O的平面與底面ABCD交于直線l，求證：l∥AB；
（Ⅱ）當(dāng)M是棱CC₁中點(diǎn)時(shí)，求證：A₁O⊥DM；
（Ⅲ）設(shè)二面角A₁-BD-M的平面角為θ，當(dāng)|cosθ|=$\frac{2\sqrt{5}}{25}$時(shí)，求CM的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理即可證明l∥AB；
（Ⅱ）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理即可證明A₁O⊥DM；
（Ⅲ）建立空間坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行求解即可．

解答 證明：（Ⅰ）因?yàn)锳BCD-A₁B₁C₁D₁是棱柱，
所以A₁B₁BA是平行四邊形．
所以A₁B₁∥AB．
因?yàn)锳₁B₁?平面ABCD，AB?平面ABCD，
所以A₁B₁∥平面ABCD．
因?yàn)槠矫鍭₁BO∩平面ABCD=l，
所以l∥A₁B₁．
所以l∥AB．
（Ⅱ）因?yàn)镈B⊥AC于O，如圖建立空間直角坐標(biāo)系．
因?yàn)锳A₁=4，且OC=2AO=4，

所以O(shè)（0，0，0），C（4，0，0），A（-2，0，0），A₁（-2，0，4）．
因?yàn)镸是棱CC₁中點(diǎn)，
所以M（4，0，2）．
設(shè)D（0，b，0），
所以$\overrightarrow{DM}$=（4，-b，2），$\overrightarrow{O{A}_{1}}$=（-2，0，4）．
所以$\overrightarrow{DM}$•$\overrightarrow{O{A}_{1}}$=-8+0+8=0．
所以A₁O⊥DM．
（Ⅲ）設(shè)D（0，b，0），B（0，c，0），平面A₁BD的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
又因?yàn)?\overrightarrow{{A}_{1}D}=（2，b，-4）$，$\overrightarrow{{A}_{1}B}=（2，c，-4）$，
所以$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2x+by-4z=0}\\{2x+cy-4z=0}\end{array}\right.$．
因?yàn)閎≠c，
所以y=0，令z=1，
則x=2，所以$\overrightarrow{m}$=（2，0，1）．
設(shè)M（4，0，h），所以$\overrightarrow{MD}$=（-4，b，-h），$\overrightarrow{MB}=（-4，c，-h）$．
設(shè)平面MBD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
所以 $\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MB}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-4x+by-hz=0}\\{-4x+cy-hz=0}\end{array}\right.$．
因?yàn)閎≠c，所以y=0，令z=1，
則x=$-\frac{h}{4}$，所以$\overrightarrow{n}$=（$-\frac{h}{4}$，0，1）．
又因?yàn)閨cosθ|=$\frac{2\sqrt{5}}{25}$，
所以|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{2\sqrt{5}}{25}$，
即$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|1-\frac{h}{2}|}{\sqrt{5}×\sqrt{\frac{{h}^{2}}{16}+1}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{25}$．
解得h=3或h=$\frac{7}{6}$．
所以點(diǎn)M（4，0，3）或M（4，0，$\frac{7}{6}$）．
所以CM=3或CM=$\frac{7}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間直線垂直以及線面垂直平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用，以及二面角的求解，建立坐標(biāo)系利用向量法是解決空間二面角的常用方法．