Question

1．已知函數(shù)f（x）=log₃x．
（1）若g（2x+1）=f（x），求函數(shù)g（x）的解析式，并寫出g（x）的定義域；
（2）記h（x）=f（x-a）．
①若y=|h（x）|在$[1，\frac{3}{2}]$上的最小值為1，求實(shí)數(shù)a的值；
②若A（x+a，y₁），B（x，y₂），C（3+a，y₃）為y=h（x）圖象上的三點(diǎn)，且滿足y₁，y₂，y₃成等差數(shù)列的實(shí)數(shù)x有且只有兩個(gè)不同的值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知中g(shù)（2x+1）=f（x）=log₃x，利用換元法可求出函數(shù)g（x）的解析式，進(jìn)而根據(jù)真數(shù)大于0，寫出g（x）的定義域；
（2）求出h（x）=f（x-a）的解析式；
①將y=|h（x）|化為分段函數(shù)，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)及y=|h（x）|在$[1，\frac{3}{2}]$上的最小值為1，對a值進(jìn)行分類討論，可求出滿足條件的a值；
②根據(jù)滿足y₁，y₂，y₃成等差數(shù)列的實(shí)數(shù)x有且只有兩個(gè)不同的值，可得方程x²-（2a+3）x+a²=0 在（a，+∞）上有兩個(gè)不等實(shí)根，構(gòu)造滿足條件的不等式組，解得答案．

解答 解：（1）令t=2x+1，則t＞1，
則x=$\frac{1}{2}$（t-1），
∵g（2x+1）=f（x）=log₃x，
∴g（t）=log₃[$\frac{1}{2}$（t-1）]，
∴g（x）=log₃[$\frac{1}{2}$（x-1）]，
則g（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）…（4分）
（2）∵h(yuǎn)（x）=f（x-a）=log₃（x-a）．
①故y=|h（x）|=$\left\{\begin{array}{l}{log}_{3}（x-a），x≥a+1\\{-log}_{3}（x-a），a＜x＜a+1\end{array}\right.$，
∴函數(shù)在（a，a+1）上單調(diào)減，在（a+1，+∞） 上單調(diào)增；  …（6分）
（Ⅰ）當(dāng)$a＜1＜\frac{3}{2}≤a+1$，即$\frac{1}{2}≤a＜1$時(shí)，
當(dāng)$x=\frac{3}{2}$時(shí)，${y_{min}}=-{log_3}（\frac{3}{2}-a）=1$，
∴$a=\frac{7}{6}＞1$（舍）
（Ⅱ）當(dāng)$1＜a+1＜\frac{3}{2}$，即$0＜a＜\frac{1}{2}$時(shí)，
當(dāng)x=a+1時(shí)，y_min=0（舍）
（Ⅲ）當(dāng)a+1≤1，即a≤0時(shí)，
當(dāng)x=1時(shí)，y_min=log₃（1-a）=1，
∴a=-2，
∴綜上：a=-2；（$a=\frac{7}{6}$不舍扣2分）  …（10分）
②∵y₁，y₂，y₃成等差數(shù)列，
∴2y₂=y₁+y₃，
即2log₃（x-a）=log₃x+log₃3．
化簡得：x²-（2a+3）x+a²=0   （*） …（13分）
∵滿足條件的實(shí)數(shù)x有且只有兩個(gè)不同的值
∴（*）在（a，+∞）上有兩個(gè)不等實(shí)根，
設(shè)H（x）=x²-（2a+3）x+a²
∴$\left\{\begin{array}{l}△=（2a+3）^{2}-4{a}^{2}＞0\\ \frac{2a+3}{2}＞a\\ H（a）={a}^{2}-（2a+3）a+{a}^{2}＞0\end{array}\right.$，
解得：-$\frac{3}{4}$＜a＜0． …（16分）

點(diǎn)評 本題主要考查對數(shù)的運(yùn)算及方程根的求解，函數(shù)解析式的求法，函數(shù)單調(diào)性的判定，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．