19.過(guò)點(diǎn)$M({1,2\sqrt{2}})$作直線交拋物線x2=2py(p>0)于A、B且M為A、B中點(diǎn),過(guò)A、B分別作拋物線切線,兩切線交于點(diǎn)N,若N在直線y=-2p上,則p=$\sqrt{2}$.

分析 由拋物線x2=2py(p>0),得y′=$\frac{x}{p}$,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),過(guò)點(diǎn)A的切線方程為x1x=p(y+y1),過(guò)點(diǎn)B的切線方程為x2x=p(y+y2),由已知得點(diǎn)A,B在直線xx0=p(y0+y)上,由此能求出p的值.

解答 解:由拋物線x2=2py(p>0),得y′=$\frac{x}{p}$,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),∴過(guò)點(diǎn)A的切線方程為:y-y1=$\frac{{x}_{1}}{p}(x-{x}_{1})$,即x1x=p(y+y1),
同理求得過(guò)點(diǎn)B的切線方程為:x2x=p(y+y2),
設(shè)N(x0,y0),∵過(guò)A、B分別作拋物線切線,兩切線交于點(diǎn)N,
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}{x}_{0}=p({y}_{0}+{y}_{1})}\\{{x}_{2}{x}_{0}=p({y}_{0}+{y}_{2})}\end{array}\right.$,
∴點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)在直線xx0=p(y0+y)上,
∵直線AB過(guò)定點(diǎn)M(1,2$\sqrt{2}$),∴${x}_{0}=p(2\sqrt{2}+{y}_{0})$,
∵N在直線y=-2p上,∴N(0,-2$\sqrt{2}$),
∴p=$\sqrt{2}$.
故答案為:$\sqrt{2}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線中參數(shù)p的值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意導(dǎo)數(shù)的幾何意義的合理運(yùn)用.

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9.已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x(2-x).
(Ⅰ)在給定的圖示中畫(huà)出函數(shù)f(x)圖象(不需列表);
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅲ)若方程f(x)=k有兩解,求k的范圍.(只需寫(xiě)出結(jié)果,不要解答過(guò)程)

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7.已知函數(shù)$f(x)=\sqrt{3}cos(\frac{π}{2}-2x)+2{cos^2}x-1$
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和對(duì)稱軸方程;
(2)將f(x)的圖象左移$\frac{π}{12}$個(gè)單位,再向上移1個(gè)單位得到g(x)的圖象,試求g(x)在區(qū)間$[0,\frac{π}{2}]$的值域.

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14.已知函數(shù)$f(x)=\left\{\begin{array}{l}-{2^{-x}}+1\\ f({x-1})\end{array}\right.$$\begin{array}{l}{x≤0}\\{x>0}\end{array}$,則下列命題中:
(1)函數(shù)f(x)為周期函數(shù);
(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間(m,m+1)(m∈N)上單調(diào)遞增;
(3)函數(shù)f(x)在x=m-1(m∈N)取到最大值0,且無(wú)最小值;
(4)若方程f(x)=loga(x+2)(0<a<1)有且只有兩個(gè)不同的實(shí)根,則$a∈[{\frac{1}{3},\frac{1}{2}})$.
正確的命題的個(gè)數(shù)是(  )
A.1B.2C.3D.4

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4.已知f(x)=ax3+bx-$\frac{c}{x}+2$,若f(3)=5,則f(-3)的值為( 。
A.3B.-1C.7D.-3

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11.已知集合A={x|y=$\sqrt{x}$},且B⊆A,則集合B可能是(  )
A.{1,2,3}B.{x|-1<x<1}C.{-2,2}D.R

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8.直線x=2被圓(x-a)2+y2=25所截得的弦長(zhǎng)等于8,則a的值為(  )
A.-1或-3B.5或-3C.1或-3D.-1或5

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9.設(shè)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{(x+1)^{2},x<0}\\{lo{g}_{2}x,x≥0}\end{array}\right.$,則f[f(-3)]=( 。
A.1B.2C.4D.8

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