Question

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，以O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ（1-cos2θ）=8cosθ，直線ρcosθ=1與曲線C相交于M，N兩點(diǎn)，直線l過定點(diǎn)P（2，0）且傾斜角為α，l交曲線C于A，B兩點(diǎn)．

（1）把曲線C化成直角坐標(biāo)方程，并求|MN|的值；

（2）若|PA|，|MN|，|PB|成等比數(shù)列，求直線l的傾斜角α．

Answer 1

【答案】（1）y2=4x,4（2）α=或α=

【解析】

（1）由ρ（1-cos2θ）=8cosθ得ρ2-ρ2cos2θ+ρ2sin2θ=8ρcosθ，∴x2+y2-x2+y2=8x，即y2=4x，由ρcosθ=1得x=1，聯(lián)立直線與拋物線解得M，N的坐標(biāo)后可求得|MN|；

（2）因?yàn)?/span>|PA|，|MN|，|PB|成等比數(shù)列，∴|PA||PB|=|MN|2=16，聯(lián)立直線l的參數(shù)方程與拋物線，根據(jù)參數(shù)的幾何意義可得．

解：（1）由ρ（1-cos2θ）=8cosθ得ρ2-ρ2cos2θ+ρ2sin2θ=8ρcosθ，

∴x2+y2-x2+y2=8x，即y2=4x．

由ρcosθ=1得x=1，

由的M（1，2），N（1，-2），∴|MN|=4．

（2）直線l的參數(shù)方程為：(t為參數(shù))，聯(lián)立直線l的參數(shù)方程與曲線C：y2=4x，

得t2sin2α-4tcosα-8=0，

設(shè)A，B兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)為t1，t2，

則t1+t2=，t1t2=-，

因?yàn)?/span>|PA|，|MN|，|PB|成等比數(shù)列，

∴|PA||PB|=|MN|2=16，

∴|t1||t2|=16，∴|t1t2|=16，

∴=16，∴sin2α=，

∵0≤α＜π，

∴sinα=，

∴α=或α=．