【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=x2﹣ax+b.
(1)若不等式f(x)<0的解集是{x|2<x<3},求不等式bx2﹣ax+1>0的解集;
(2)當b=3﹣a時,對任意的x∈(﹣1,0]都有f(x)≥0成立,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)解:∵不等式x2﹣ax+b<0的解集是{x|2<x<3},

∴x=2,x=3是方程x2﹣ax+b=0的解,

由韋達定理得:a=5,b=6,

故不等式bx2﹣ax+1>0為6x2﹣5x+1>0,

解不等式6x2﹣5x+1>0,

得其解集為{x|x< 或x> }


(2)解:據(jù)題意x∈(﹣1,0],f(x)=x2﹣ax+3﹣a≥0恒成立,

則可轉(zhuǎn)化為a≤ ,

設(shè)t=x+1,則t∈(0,1],

= =t+ ﹣2關(guān)于t遞減,

所以 =1+4﹣2=3,

∴a≤3


【解析】(1)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出a,b的值,解不等式求出其解集即可;(2)問題轉(zhuǎn)化為a≤ ,設(shè)t=x+1,則t∈(0,1],從而求出a的范圍即可.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的值域的相關(guān)知識,掌握求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的.事實上,如果在函數(shù)的值域中存在一個最。ù螅⿺(shù),這個數(shù)就是函數(shù)的最。ù螅┲担虼饲蠛瘮(shù)的最值與值域,其實質(zhì)是相同的,以及對二次函數(shù)的性質(zhì)的理解,了解當時,拋物線開口向上,函數(shù)在上遞減,在上遞增;當時,拋物線開口向下,函數(shù)在上遞增,在上遞減.

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