Question

3．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（-1）=4，f′（x）＜1-f（x），f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則不等式e^x+1f（x）＞e^x+1+3（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的解集為（-∞，-1）．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=e^x+1f（x）-e^x+1，（x∈R），研究g（x）的單調(diào)性，結(jié)合原函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)值，即可求解．

解答 解：設(shè)g（x）=e^x+1f（x）-e^x+1，（x∈R），
則g′（x）=e^x+1f（x）+e^x+1f′（x）-e^x+1=e^x+1[f（x）+f′（x）-1]，
∵f′（x）＜1-f（x），
∴f（x）+f′（x）-1＜0，
∴g′（x）＜0，
∴y=g（x）在定義域上單調(diào)遞減，
∵e^x+1f（x）＞e^x+1+3，
∴g（x）＞3，
又∵g（-1）=e⁰f（-1）-e⁰=4-1=3，
∴g（x）＞g（-1），
∴x＜-1，
∴不等式的解集為（-∞，-1）
故答案為：（-∞，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的結(jié)合，結(jié)合已知條件構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．