Question

13．在1≤x≤2的條件下，求函數(shù)y=-x²+2ax+1（a是實常數(shù)）的最大值M和最小值m．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=-x²+2ax+1的圖象的對稱軸方程為x=a，通過討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)性，分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得f（x）在區(qū)間[1，2]上的最值．

解答 解：函數(shù)f（x）=-x²+2ax+1的圖象的對稱軸方程為x=a，
①當(dāng)a＜1時，f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，
∴最小值為m=f（2）=4a-3，最大值為M=f（1）=2a．
②當(dāng)1≤a＜$\frac{3}{2}$時，
f（x）在[1，a）遞增，在（a，2]遞減，
可得最小值為m=f（2）=4a-3，最大值為M=f（a）=1+a²．
③當(dāng)$\frac{3}{2}$≤a＜2時，
f（x）在[1，a）遞增，在（a，2]遞減，
可得最小值為m=f（1）=2a，最大值為M=f（a）=1+a²．
④當(dāng)a≥2時，f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，
∴最大值為M=f（2）=4a-3，最小值為m=f（1）=2a．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬中檔題．