Question

設f（x）的定義域為（0，+∞），且在（0，+∞）是遞增的，f（

x

y

）=f（x）-f（y）．
（1）求證：f（1）=0，f（xy）=f（x）+f（y）；
（2）設f（2）=1，解不等式f（x）-f（

1

x-3

）≤2．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用,其他不等式的解法

專題：函數(shù)的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）令x=y=1得f（1）=0，則有f(xy)=f(

x

1 y

)=f(x)-f(

1

y

)=f(x)-[f(1)-f(y)]=f(x)+f(y)，（2）由f（

x

y

）=f（x）-f（y）=f（x²-3x），然后可求f（4）=2，轉化為不等式求解．

解答： 解：（1）證明：f(

x

y

)=f(x)-f(y)，
令x=y=1，則有：f（1）=f（1）-f（1）=0，
f(xy)=f(

x

1 y

)=f(x)-f(

1

y

)=f(x)-[f(1)-f(y)]=f(x)+f(y)．
（2）∵f(x)-f(

1

x-3

)=f(x)-[f(1)-f(x-3)]=f（x）+f（x-3）=f（x²-3x），
∵2=2×1=2f（2）=f（2）+f（2）=f（4），
∴f（x）-f（

1

x-3

）≤2等價于：f（x²-3x）≤f（4）①，
且x＞0，x-3＞0（由f（x）定義域為（0，+∞）可得），
∵x（x-3）=x²-3x＞0，4＞0，
又f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
∴①?x²-3x≤4⇒-1≤x≤4，又x＞3，
∴原不等式的解集為；{x|3＜x≤4}．

點評：本題考查抽象函數(shù)，抓住解題關鍵f（

x

y

）=f（x）-f（y）．利用取特值求解．