Question

6．一次研究性學(xué)習(xí)有“整理數(shù)據(jù)”、“撰寫報(bào)告”兩項(xiàng)任務(wù)，兩項(xiàng)任務(wù)無先后順序，每項(xiàng)任務(wù)的完成相互獨(dú)立，互不影響．某班研究性學(xué)習(xí)有甲、乙兩個(gè)小組．根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，甲小組完成研究性學(xué)習(xí)兩項(xiàng)任務(wù)的概率都為$\frac{1}{2}$，乙小組完成研究性學(xué)習(xí)兩項(xiàng)任務(wù)的概率都為q．若在一次研究性學(xué)習(xí)中，兩個(gè)小組完成任務(wù)項(xiàng)數(shù)相等，而且兩個(gè)小組完成任務(wù)數(shù)都不少于一項(xiàng)，則稱該班為“和諧研究班”．
（Ⅰ）若q=$\frac{2}{3}$，求在一次研究性學(xué)習(xí)中，已知甲小組完成兩項(xiàng)任務(wù)的條件下，該班榮獲“和諧研究班”的概率；
（Ⅱ）設(shè)在完成4次研究性學(xué)習(xí)中該班獲得“和諧研究班”的次數(shù)為ξ，若ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ≥1，求q的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)“甲小組完成兩項(xiàng)任務(wù)”為事件A，“該班榮獲和諧研究班”為事件B，由此利用條件概率計(jì)算公式能求出甲小組完成兩項(xiàng)任務(wù)的條件下，該班榮獲“和諧研究班”的概率．
（Ⅱ）求出突擊隊(duì)在一次任務(wù)中榮獲“和諧研究班”的概率為q-$\frac{3}{4}{q}^{2}$，ξ～B（4，p），由此能求出q的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)“甲小組完成兩項(xiàng)任務(wù)”為事件A，“該班榮獲和諧研究班”為事件B，
∴P（A）=（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，
P（AB）=（$\frac{1}{2}$）²•（$\frac{2}{3}$）²=$\frac{1}{9}$，
∴P（B|A）=$\frac{P（AB）}{P（A）}$=$\frac{4}{9}$．
∴甲小組完成兩項(xiàng)任務(wù)的條件下，該班榮獲“和諧研究班”的概率為$\frac{4}{9}$．
（Ⅱ）甲小組在一次任務(wù)中榮獲“和諧研究班”的概率為：
P=（${C}_{2}^{1}•\frac{1}{2}•\frac{1}{2}$）[${C}_{2}^{1}q（1-q）$]+（$\frac{1}{2}•\frac{1}{2}$）q²=q-$\frac{3}{4}{q}^{2}$，
而ξ～B（4，p），∴E（ξ）=4p，
由Eξ≥1，知（q-$\frac{3}{4}$q²）×4≥1，
解得$\frac{1}{3}≤q≤1$，
∴$\frac{1}{3}≤q≤1$．
∴q的取值范圍是[$\frac{1}{3}$，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求法及應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．