Question

1．分別求出正十五邊形任三個(gè)頂點(diǎn)所構(gòu)成的銳角三角形及鈍角三角形的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 求出正十五邊形任三個(gè)頂點(diǎn)所構(gòu)成的三角形，有${C}_{15}^{3}$=455個(gè)，直角三角形的個(gè)數(shù)為0．考慮從正十五邊形的某個(gè)頂點(diǎn)A出發(fā)且∠A為鈍角的三角形的個(gè)數(shù)共有1+2+…+7=21個(gè)，故共有15×21=315個(gè)鈍角的三角形；即可求出銳角三角形的個(gè)數(shù)．

解答 解：正十五邊形任三個(gè)頂點(diǎn)所構(gòu)成的三角形，有${C}_{15}^{3}$=455個(gè)．
由題意，15個(gè)頂點(diǎn)中的任意兩個(gè)頂點(diǎn)的連線(xiàn)都不可能是直徑，故直角三角形的個(gè)數(shù)為0．
考慮從正十五邊形的某個(gè)頂點(diǎn)A出發(fā)且∠A為鈍角的三角形的個(gè)數(shù)，設(shè)AB為它的外接圓的直徑，顯然B不是正十五邊形的頂點(diǎn)，記從A開(kāi)始按逆時(shí)針?lè)较虻捻旤c(diǎn)依次記為A₁，A₂，…，按順時(shí)針?lè)较虻捻旤c(diǎn)依次為A_-1，A_-2，…，要使得△A_iAA_-j是∠A為鈍角的三角形，則i+j≤7，其中i，j≥1，共有1+2+…+7=21個(gè)，故共有15×21=315個(gè)鈍角的三角形；
銳角三角形的個(gè)數(shù)為455-315=140個(gè)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查組合知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，確定鈍角的三角形的個(gè)數(shù)是關(guān)鍵．