Question

17．若從區(qū)間[0，2]中隨機(jī)取出兩個(gè)數(shù)a和b，則關(guān)于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0有實(shí)根，且滿足a²+b²≤4的概率為$\frac{π}{8}$．

Answer 1

分析 全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤2}，其面積為S=2×2=4，又構(gòu)成事件的區(qū)域?yàn)閧（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤2，a≥b，a²+b²≤4}，求出其面積，利用幾何概型的個(gè)數(shù)求得．

解答 解：全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤2}，
其面積為S=2×2=4．
關(guān)于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0有實(shí)根，則a²≥b²，即a≥b，所以
所以又滿足滿足a²+b²≤4的區(qū)域?yàn)閧（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤2，a≥b，a²+b²≤4}，如圖，其面積為S′=$\frac{1}{8}×4π=\frac{π}{2}$，
所以 從區(qū)間[0，2]中隨機(jī)取出兩個(gè)數(shù)a和b，則關(guān)于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0有實(shí)根，且滿足a²+b²≤4的概率為$\frac{\frac{π}{2}}{4}=\frac{π}{8}$；
故答案為：$\frac{π}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何概型及其運(yùn)算公式，解題時(shí)要找出構(gòu)成事件的區(qū)域表示，利用面積比求概率．