Question

2．如圖，在三棱椎P-ABC中，D，E，F(xiàn)分別是棱PC、AC、AB的中點(diǎn)，且PA⊥面ABC．
（1）求證：PA∥面DEF；
（2）求證：面BDE⊥面ABC．

Answer 1

分析 （1）由線面平行的判定定理可知，只須證PA與平面DEF內(nèi)的某一條直線平行即可，由已知及圖形可知應(yīng)選擇DE，由三角形的中位線的性質(zhì)易知：DE∥PA，從而問(wèn)題得證；
（2）由面面垂直的判定定理可知，只須證兩平中的某一直線與另一個(gè)平面垂直即可，注意題中已知了線段的長(zhǎng)度，那就要注意利用勾股定理的逆定理來(lái)證明直線與直線的垂直；通過(guò)觀察可知：應(yīng)選擇證DE垂直平面ABC較好，由（1）可知：DE⊥AC，再就只須證DE⊥EF即可；這樣就能得到DE⊥平面ABC，又DE?平面BDE，從面而有平面BDE⊥平面ABC．

解答 證明：（1）因?yàn)镈，E分別為PC，AC的中點(diǎn)，所以DE∥PA．
又因?yàn)镻A?平面DEF，DE?平面DEF，所以直線PA∥平面DEF．
（2）因?yàn)镈，E，F(xiàn)分別人棱PC，AC，AB的中點(diǎn)，PA=6，BC=8，所以DE∥PA，DE=$\frac{1}{2}$PA=3，EF=$\frac{1}{2}$BC=4．
又因?yàn)镈F=5，故DF²=DE²+EF²，所以∠DEF=90．，即DE⊥EF．又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC．
因?yàn)锳C∩EF=E，AC?平面ABC，EF?平面ABC，所以DE⊥平面ABC．
又DE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的判定，考查平面與平面垂直的判定，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．