Question

17．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦點和短軸端點都在圓x²+y²=4上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點P（-3，2），若斜率為1的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，且△ABP是以AB為底邊的等腰三角形，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）圓x²+y²=4與坐標軸的交點為：（±2，0），（0，±2）．可得c=2，b=2，可得a²=b²+c²．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．線段MN的中點D（x₀，y₀）．設直線l的方程為：y=x+m．與橢圓方程聯(lián)立化為：3x²+4mx+2m²-8=0，△＞0，利用根與系數(shù)的關系及其中點坐標公式可得：D，利用△ABP是以AB為底邊的等腰三角形，可得k_AB•k_PD=-1，即可得出．

解答 解：（1）圓x²+y²=4與坐標軸的交點為：（±2，0），（0，±2）．
可得焦點：（±2，0），短軸端點：（0，±2）．
∴c=2，b=2，可得a²=b²+c²=8．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．線段AB的中點D（x₀，y₀）．
設直線l的方程為：y=x+m．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，3x²+4mx+2m²-8=0，
△=16m²-12（2m²-8）＞0，化為：m²＜12．
∴x₁+x₂=$\frac{-4m}{3}$，
x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{2m}{3}$，y₀=x₀+m=$\frac{m}{3}$．
∵△ABP是以AB為底邊的等腰三角形，
∴k_AB•k_PD=-1，
1×$\frac{\frac{m}{3}-2}{-\frac{2m}{3}+3}$=-1，
解得m=3．滿足△＞0．
∴直線l的方程為y=x+3．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關系、相互垂直的直線斜率之間的關系、等腰三角形的性質(zhì)、中點坐標公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．