Question

18．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，P為橢圓上任意一點(diǎn)．
（1）當(dāng)a=2，b=$\sqrt{3}$時(shí)，
①cos∠F₁PF₂的最小值是$\frac{1}{2}$；
②|PF₁|•|PF₂|的取值范圍是[3，4]；
③$|{\overrightarrow{P{F}_{1}}}^{2}|$+$|{\overrightarrow{P{F}_{2}}}^{2}|$的最小值是8．
（2）若滿足|PF₁|=2|PF₂|，且∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$時(shí)，橢圓的離心率是$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（3）若滿足|PF₁|=2|PF₂|時(shí)，橢圓離心率的取值范圍是[$\frac{1}{3}$，1）；
（4）若滿足$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0時(shí)，橢圓的離心率的取值范圍是[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．
（5）過(guò)F₂且垂直于x軸的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF₁是銳角三角形，則橢圓的離心率的取值范圍是（$\sqrt{2}$-1，1）；
（6）A，B是橢圓左、右頂點(diǎn)，M，N是橢圓上關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，直線AM，BN的斜率分別為k₁，k₂（k₁k₂≠0）時(shí)，若|k₁|+|k₂|的最小值為1，則橢圓離心率是$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）①利用余弦定理可得cos∠F₁PF₂=$\frac{12}{2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}-1$，再利用橢圓的定義結(jié)合配方法求出|PF₁|•|PF₂|的最大值得答案；
②由①中過(guò)程可得|PF₁|•|PF₂|的取值范圍；
③把$|\overrightarrow{P{F}_{1}}{|}^{2}+|\overrightarrow{P{F}_{2}}{|}^{2}$配方，轉(zhuǎn)化為含有|PF₁|•|PF₂|的代數(shù)式求得最小值；
（2）由已知結(jié)合橢圓定義求出|PF₁|，|PF₂|，然后結(jié)合余弦定理求得橢圓的離心率；
（3）由（2）中求得的|PF₂|，再由|PF₂|≥a-c求得橢圓離心率的取值范圍；
（4）由點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，可得點(diǎn)P的軌跡是以F₁F₂為直徑的圓，其方程為x²+y²=c²．進(jìn)一步得到橢圓短軸的頂點(diǎn)在圓上或在圓的內(nèi)部，可得b≤c，兩邊平方后結(jié)合隱含條件求得橢圓的離心率；
（5）由橢圓的對(duì)稱(chēng)性，結(jié)合△ABF₁是銳角三角形，可得∠AF₁F₂＜45°，即tan∠AF₁F₂＜1，轉(zhuǎn)化為a，b，c的不等式求得橢圓離心率的范圍；
（6）先設(shè)出點(diǎn)M，N，A，B的坐標(biāo)，然后表示出兩斜率的關(guān)系，再由|k₁|+|k₂|的最小值為1，運(yùn)用基本不等式的知識(shí)可得到當(dāng)x₀=0時(shí)可取到最小值，進(jìn)而找到a，b，c的關(guān)系，求得離心率的值．

解答 解：（1）當(dāng)a=2，b=$\sqrt{3}$時(shí)，橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$
①∵cos∠F₁PF₂=$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$=$\frac{（|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|）^{2}-2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$=$\frac{12}{2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}-1$，
故當(dāng)|PF₁||PF₂|取得最大值時(shí)，cos∠F₁PF₂取最小值．
∵|PF₁|+|PF₂|=4，∴|PF₂|=4-|PF₁|，
∴|PF₁|•|PF₂|=|PF₁|（4-|PF₁|）=-（|PF₁|-2）²+4，
∵1=2-1=a-c≤|PF₁|≤a+c=2+1=3，
∴3≤-（|PF₁|-2）²+4≤4，
∴|PF₁|•|PF₂|的最大值為4，最小值為3，
∴cos∠F₁PF₂的最小值是$\frac{1}{2}$；
②由①可得，|PF₁|•|PF₂|的取值范圍是[3，4]；
③∵$|\overrightarrow{P{F}_{1}}{|}^{2}+|\overrightarrow{P{F}_{2}}{|}^{2}$=（|PF₁|+|PF₂|）²-2|PF₁|•|PF₂|=16-2|PF₁|•|PF₂|，
由②知|PF₁|•|PF₂|的最大值為4，
∴$|\overrightarrow{P{F}_{1}}{|}^{2}+|\overrightarrow{P{F}_{2}}{|}^{2}$的最小值為16-8=8；
（2）∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$中，|PF₁|+|PF₂|=2a，
∴由|PF₁|=2|PF₂|，得|PF₁|=$\frac{4}{3}a$，|PF₂|=$\frac{2}{3}a$，
∵cos∠F₁PF₂=cos$\frac{π}{3}=\frac{1}{2}$，
∴|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos∠F₁PF₂，
可得4c²=$\frac{16}{9}{a}^{2}+\frac{4}{9}{a}^{2}-2×\frac{4}{3}a×\frac{2}{3}a×\frac{1}{2}$=$\frac{4}{3}{a}^{2}$，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{3}$，得橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（3）由（2）得，|PF₂|=$\frac{2}{3}a$，
則$\frac{2}{3}a≥a-c$，解得$e=\frac{c}{a}≥\frac{1}{3}$，
又0＜e＜1，
∴橢圓離心率的取值范圍是[$\frac{1}{3}$，1）；
（4）∵點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
∴點(diǎn)P的軌跡是以F₁F₂為直徑的圓，其方程為x²+y²=c²．
又∵橢圓上存在點(diǎn)P，滿足$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
∴以F₁F₂為直徑的圓與橢圓有公共點(diǎn)，
由此可得橢圓短軸的頂點(diǎn)在圓上或在圓的內(nèi)部，
∴b≤c，即a²-c²≤c²，化簡(jiǎn)得a²≤2c²，解得$\frac{c}{a}≥\frac{\sqrt{2}}{2}$．
又0＜e＜1，
∴橢圓C的離心率e∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）；
（5）∵點(diǎn)F₁、F₂分別是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，
過(guò)F₂且垂直于x軸的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，
∴F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），A（c，$\frac{^{2}}{a}$），B（c，-$\frac{^{2}}{a}$），
∵△ABF₁是銳角三角形，
∴∠AF₁F₂＜45°，∴tan∠AF₁F₂＜1，
∴$\frac{\frac{^{2}}{a}}{2c}＜1$，
整理得b²＜2ac，
∴a²-c²＜2ac，
兩邊同時(shí)除以a²，并整理，得e²+2e-1＞0，
解得e＞$\sqrt{2}$-1，或e＜-$\sqrt{2}$-1，（舍），
又0＜e＜1，
∴橢圓的離心率e的取值范圍是（$\sqrt{2}$-1，1）；
（6）設(shè)M（x₀，y₀），N（x₀，-y₀），A（-a，0），B（a，0），
則$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{^{2}}=1$，即有$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{a}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}=\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
k₁=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$，k₂=$\frac{{y}_{0}}{a-{x}_{0}}$，
|k₁|+|k₂|=|$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$|+|$\frac{{y}_{0}}{a-{x}_{0}}$|≥2$\sqrt{\frac{{{y}_{0}}^{2}}{|{a}^{2}-{{x}_{0}}^{2}|}}=1$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}=\frac{{y}_{0}}{a-{x}_{0}}$，即x₀=0，y₀=b時(shí)等號(hào)成立．
∴2$\sqrt{\frac{{{y}_{0}}^{2}}{|{a}^{2}-{{x}_{0}}^{2}|}}$=2•$\frac{a}$=1，∴a=2b，
又∵a²=b²+c²，∴c=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：（1）①$\frac{1}{2}$；②[3，4]；③8；
（2）$\frac{\sqrt{3}}{3}$；（3）[$\frac{1}{3}$，1）；（4）[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）；（5）（$\sqrt{2}$-1，1）；（6）$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查橢圓的定義，訓(xùn)練了涉及焦點(diǎn)三角形問(wèn)題的解法，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查學(xué)生的推理論證能力和數(shù)學(xué)求解能力，是中檔題．