Question

7．函數(shù)$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{4}）$定義在$[0，\frac{π}{2}]$上，則f（x）的值域是[-$\sqrt{2}$，2]；f（x）的減區(qū)間是[$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性和值域之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，
∴0≤2x≤π，$\frac{π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$，
∴當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$時(shí)，函數(shù)取得最小值為y=2sin$\frac{5π}{4}$=-2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$-\sqrt{2}$，
當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)取得最大值為y=2sin$\frac{π}{2}$=2，
則f（x）的值域是[-$\sqrt{2}$，2]，
∵$\frac{π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$，
∴當(dāng)$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$，
即$\frac{π}{8}$≤x≤$\frac{π}{2}$，
即函數(shù)的減區(qū)間為[$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$]，
故答案為：[-$\sqrt{2}$，2]，[$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，要求熟練掌握函數(shù)單調(diào)性和值域的求解．