Question

16．求函數(shù)f（x）=3${\;}^{\sqrt{{x}^{2}-5x+4}}$的定義域、值域及單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 令t=x²-5x+4≥0，求得函數(shù)的定義域；根據(jù)f（x）=${3}^{\sqrt{t}}$，t≥0求得函數(shù)的值域；求得函數(shù)t的單調(diào)區(qū)間，可得f（x）=${3}^{\sqrt{t}}$的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：令t=x²-5x+4≥0，求得x≤1或 x≥4，故函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≤1或 x≥4}，且f（x）=${3}^{\sqrt{t}}$．
根據(jù)t≥0，可得f（x）=3^t≥1，故函數(shù)的值域?yàn)閇1，+∞）．
在（-∞，1]上，函數(shù)t為減函數(shù)，函數(shù)f（x）為減函數(shù)；在[4，+∞）上，函數(shù)t為增函數(shù)，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
故函數(shù)f（x）的減區(qū)間為（-∞，1]，增區(qū)間為[4，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．