Question

12．已知在△ABC中，點A（-1，0），B（0，$\sqrt{3}$），C（1，-2）．
（Ⅰ）求邊AB上高所在直線的方程；
（Ⅱ）求△ABC的面積S_△ABC．

Answer 1

分析 （I）k_AB=$\sqrt{3}$，可得邊AB上高所在直線的斜率為-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．利用點斜式即可得出．
（II）直線AB的方程為：y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$，利用點到直線的距離公式可得點C到直線AB的距離d，利用△ABC的面積S_△ABC=$\frac{1}{2}$|AB|d，即可得出．

解答 解：（I）k_AB=$\frac{0-\sqrt{3}}{-1-0}$=$\sqrt{3}$，
∴邊AB上高所在直線的斜率為-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴邊AB上高所在直線的方程為：y+2=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-1），即$\sqrt{3}$x+3y+6-$\sqrt{3}$=0．
（II）直線AB的方程為：y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$，|AB|=$\sqrt{（-1）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2．
點C到直線AB的距離d=$\frac{|\sqrt{3}+2+\sqrt{3}|}{2}$=$\sqrt{3}$+1．
∴△ABC的面積S_△ABC=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{1}{2}×2×（\sqrt{3}+1）$=$\sqrt{3}$+1．

點評 本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、點到直線的距離公式、三角形面積計算公式、兩點之間的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．