Question

20．設(shè)命題p：關(guān)于x的一元二次方程mx²+（m-1）x+m=0沒有實數(shù)根，
命題q：?x∈R，2x²+mx-$\frac{3}{8}$m＞0恒成立，如果命題“p∧q”是真命題，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 命題p：關(guān)于x的一元二次方程mx²+（m-1）x+m=0沒有實數(shù)根，則$\left\{\begin{array}{l}{m≠0}\\{△=（m-1）^{2}-4{m}^{2}＜0}\end{array}\right.$，解得m范圍．命題q：?x∈R，2x²+mx-$\frac{3}{8}$m＞0恒成立，△＜0，解得m范圍．利用命題“p∧q”是真命題，即可得出．

解答 解：命題p：關(guān)于x的一元二次方程mx²+（m-1）x+m=0沒有實數(shù)根，則$\left\{\begin{array}{l}{m≠0}\\{△=（m-1）^{2}-4{m}^{2}＜0}\end{array}\right.$，解得$m＞\frac{1}{3}$或m＜-1．
命題q：?x∈R，2x²+mx-$\frac{3}{8}$m＞0恒成立，△=m²-8×$（-\frac{3}{8}m）$＜0，解得-3＜m＜0．
如果命題“p∧q”是真命題，∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞\frac{1}{3}或m＜-1}\\{-3＜m＜0}\end{array}\right.$，
解得-3＜m＜-1．
∴實數(shù)m的取值范圍是（-3，-1）．

點評 本題考查了一元二次方程及其一元二次不等式的解集與判別式的關(guān)系、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．