【題目】將一個(gè)半徑為3分米,圓心角為α(α∈(0,2π))的扇形鐵皮焊接成一個(gè)容積為V立方分米的圓錐形無蓋容器(忽略損耗).
(1)求V關(guān)于α的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)α為何值時(shí),V取得最大值;
(3)容積最大的圓錐形容器能否完全蓋住桌面上一個(gè)半徑為0.5分米的球?請(qǐng)說明理由.
【答案】
(1)解:由題意知圓錐的母線l=3,設(shè)圓錐的底面半徑為r,則2πr=3α,
∴r= ,∴圓錐的高h(yuǎn)= = = .
∴V= =
(2)解:V= = ≤ =2 .
當(dāng)且僅當(dāng)4π2﹣α2= 即α= 時(shí),取等號(hào).
∴當(dāng)α= 時(shí),體積V取得最大值
(3)解:當(dāng)圓錐體積最大時(shí),圓錐的底面半徑r= .
設(shè)圓錐軸截面△ABC的內(nèi)切圓⊙O半徑為R,如圖所示,
則OD=R,CD=CE= ,AC=3,∴AE= ,AD=3﹣ .
由△AOD∽△ACE得 ,
∴ ,解得R=3 ≈0.8.
∵0.8>0.5,
∴容積最大的圓錐形容器能完全蓋住桌面上一個(gè)半徑為0.5分米的球.
【解析】(1)根據(jù)面積得出圓錐的底面半徑,利用勾股定理求出圓錐的高,代入體積公式即可;(2)利用基本不等式得出體積的最值及取得最值得條件;(3)求出圓錐內(nèi)切球的半徑,與0.5比較大。
【考點(diǎn)精析】掌握基本不等式在最值問題中的應(yīng)用和旋轉(zhuǎn)體(圓柱、圓錐、圓臺(tái))是解答本題的根本,需要知道用基本不等式求最值時(shí)(積定和最小,和定積最大),要注意滿足三個(gè)條件“一正、二定、三相等”;常見的旋轉(zhuǎn)體有:圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(I)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,試求出的取值范圍.
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【題目】已知定義域?yàn)?/span>的單調(diào)遞減的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),.
(1)求的值;
(2)求的解析式;
(3)若對(duì)任意的,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+2x+alnx在區(qū)間(0,1)內(nèi)無極值點(diǎn),則a的取值范圍是 .
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【題目】若是兩個(gè)相交平面,則在下列命題中,真命題的序號(hào)為 .(寫出所有真命題的序號(hào))
①若直線,則在平面內(nèi),一定不存在與直線平行的直線.
②若直線,則在平面內(nèi),一定存在無數(shù)條直線與直線垂直.
③若直線,則在平面內(nèi),不一定存在與直線垂直的直線.
④若直線,則在平面內(nèi),一定存在與直線垂直的直線.
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【題目】下列說法:
①函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是;
②若函數(shù)定義域?yàn)?/span>且滿足,則它的圖象關(guān)于軸對(duì)稱;
③函數(shù)的值域?yàn)?/span>;
④函數(shù)的圖象和直線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是,則的值可能是;
⑤若函數(shù)在上有零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是.
其中正確的序號(hào)是_________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列{an}按三角形進(jìn)行排列,如圖,第一層一個(gè)數(shù)a1 , 第二層兩個(gè)數(shù)a2和a3 , 第三層三個(gè)數(shù)a4 , a5和a6 , 以此類推,且每個(gè)數(shù)字等于下一層的左右兩個(gè)數(shù)字之和,如a1=a2+a3 , a2=a4+a5 , a3=a5+a6 , ….
(1)若第四層四個(gè)數(shù)為0或1,a1為奇數(shù),則第四層四個(gè)數(shù)共有多少種不同取法?
(2)若第十一層十一個(gè)數(shù)為0或1,a1為5的倍數(shù),則第十一層十一個(gè)數(shù)共有多少種不同取法?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥, 成年人按規(guī)定的劑量服用后, 每毫升血液中的含藥量(微克)與時(shí)間(小時(shí))之間關(guān)系滿足如圖所示的曲線.
(1)寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式:;
(2)據(jù)進(jìn)一步測(cè)定: 每毫升血液中的含藥量不少于微克時(shí), 治療疾病有效. 求服藥一次后治療疾病有效的時(shí)間.
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【題目】若f(x)=ex+ae﹣x為偶函數(shù),則f(x﹣1)< 的解集為( )
A.(2,+∞)
B.(0,2)
C.(﹣∞,2)
D.(﹣∞,0)∪(2,+∞)
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