Question

16．在直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)Q到定點(diǎn)A（0，1）與到定直線l：y=1的距離相等．
（1）求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程；
（2）記動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為曲線C，若曲線C與直線y=kx+a（a＞0）交于M，N兩點(diǎn)，則在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有∠OPM=∠OPN？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）直接由拋物線的定義求得拋物線的方程；
（2）設(shè)出P，M，N的坐標(biāo)，聯(lián)立直線y=kx+a與拋物線方程，由直線PM，PN的斜率和為0說(shuō)明存在符合題意的點(diǎn)P（0，-a）．

解答 解：（1）由題意，動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是以A為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線，
其方程為x²=4y；
（2）存在符合題意的點(diǎn)．
證明如下：
設(shè)P（0，b）為符合題意的點(diǎn)，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
直線PM，PN的斜率分別為k₁，k₂，
將y=kx+a代入C得：x²-4kx-4a=0．
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4a，
∴${k}_{1}+{k}_{2}=\frac{{y}_{1}-b}{{x}_{1}}+\frac{{y}_{2}-b}{{x}_{2}}$=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}+（a-b）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}=\frac{k（a+b）}{a}$．
當(dāng)b=-a時(shí)，有k₁+k₂=0．
則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補(bǔ)．
故∠OPM=∠OPN，
∴P（0，-a）符合題意．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題．