Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，A，B分別是橢圓E的左、右頂點(diǎn)，且＋5＝0.

(1)求橢圓E的離心率； (2)已知點(diǎn)D(1，0)為線段OF2的中點(diǎn)，M為橢圓E上的動點(diǎn)(異于點(diǎn)A、B)，連結(jié)MF1并延長交橢圓E于點(diǎn)N，連結(jié)MD、ND并分別延長交橢圓E于點(diǎn)P、Q，連結(jié)PQ，設(shè)直線MN、PQ的斜率存在且分別為k1、k2，試問是否存在常數(shù)λ，使得k1＋λk2＝0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

（1）（2）－

【解析】(1)∵＋5＝0，∴＝5 .∴a＋c＝5(a－c)，化簡得2a＝3c，故橢圓E的離心率為.

(2)存在滿足條件的常數(shù)λ，λ＝－.點(diǎn)D(1，0)為線段OF2的中點(diǎn)，∴c＝2，從而a＝3，b＝，左焦點(diǎn)F1(－2，0)，橢圓E的方程為＝1，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，則直線MD的方程為x＝y＋1，代入橢圓方程＝1，整理得，y2＋y－4＝0.∵y1＋y3＝，∴y3＝.從而x3＝，故點(diǎn)P .同理，點(diǎn)Q .∵三點(diǎn)M、F1、N共線，∴，從而x1y2－x2y1＝2(y1－y2)．從而k2＝，故k1－＝0，從而存在滿足條件的常數(shù)λ＝－