Question

20．已知$|AB|=\sqrt{3}$，∠APB=60°，則$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的取值范圍是$（0，\frac{3}{2}]$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，取AB中點(diǎn)C，把問題轉(zhuǎn)化為求$（\overrightarrow{PC}）^{2}$的取值范圍解決．

解答 解：如圖，$|AB|=\sqrt{3}$，∠APB=60°，
取AB的中點(diǎn)C，連接PC，
則$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=$（\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CA}）•（\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CB}）$
=$（\overrightarrow{PC}）^{2}+\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$
=$（\overrightarrow{PC}）^{2}-\frac{3}{4}$．
由圖可知，P為圖中優(yōu)弧上的點(diǎn)（不含A、B）．
∴$（\overrightarrow{PC}）^{2}∈（\frac{3}{4}，\frac{9}{4}]$（PC⊥AB時(shí)$（\overrightarrow{PC}）^{2}$最大），
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的取值范圍是（0，$\frac{3}{2}$]．
故答案為：（0，$\frac{3}{2}$]．

點(diǎn)評 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，由題意畫出圖形是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．