Question

5．函數(shù)f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0）在區(qū)間[0，20]上有50個(gè)最大值，則ω的范圍是[$\frac{π}{120}$+$\frac{49π}{10}$，$\frac{π}{120}$+50π）．

Answer 1

分析 由正弦函數(shù)的圖象特點(diǎn)，分別計(jì)算每一個(gè)最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的位置，確定第50個(gè)最值的取值范圍解不等式即可．

解答 解：由正弦函數(shù)的圖象特點(diǎn)，函數(shù)出現(xiàn)有50個(gè)最大值至少出現(xiàn)49$\frac{1}{4}$個(gè)周期
由題意數(shù)f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0）在區(qū)間[0，20]上至少有50個(gè)最大值
則49$\frac{1}{4}$T≤20⇒$\frac{197}{4}•\frac{2π}{ω}$≤20，
可得ω≥$\frac{197π}{40}$
故答案為：ω≥$\frac{197π}{40}$，
第一個(gè)最大值的位置為ωx+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，
第2個(gè)最大值的位置為ωx+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+2π，
第3個(gè)最大值的位置為ωx+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+2×2π，
…
第50個(gè)最大值的位置為ωx+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+49×2π，
第51個(gè)最大值的位置為ωx+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+50×2π，
則$\frac{π}{2}$+49×2π≤20ω+$\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{2}$+50×2π，
解得$\frac{π}{120}$+$\frac{49π}{10}$≤ω＜$\frac{π}{120}$+50π，
故答案為：[$\frac{π}{120}$+$\frac{49π}{10}$，$\frac{π}{120}$+50π）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)．根據(jù)條件分別確定每一個(gè)最值對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)，確定第50個(gè)最值的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵．