Question

11．函數(shù)f（x）=cosxcos（x-$\frac{π}{3}$），x∈（0，$\frac{π}{3}$）的值域為[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$]．

Answer 1

分析 由三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{4}$，由x的范圍可得2x+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），可得三角函數(shù)的值域．

解答 解：由三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=cosxcos（x-$\frac{π}{3}$）
=cosx（$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）=$\frac{1}{2}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx
=$\frac{1}{2}$•$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x+$\frac{1}{4}$cos2x+$\frac{1}{4}$
=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{4}$
∵x∈（0，$\frac{π}{3}$），∴2x∈（0，$\frac{2π}{3}$），
∴2x+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$時，函數(shù)sin（2x+$\frac{π}{6}$）取最小值$\frac{1}{2}$，此時函數(shù)f（x）取最小值$\frac{1}{2}$；
當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)sin（2x+$\frac{π}{6}$）取最大值1，此時函數(shù)f（x）取最大值$\frac{3}{4}$；
故函數(shù)的值域為：[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$]，
故答案為：[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$]

點評 本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及和差角的三角函數(shù)公式和三角函數(shù)的最值，屬中檔題．