Question

2．橢圓C₁$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點A（1，$\frac{3}{2}$），兩個焦點為（-1，0），（1，0）．
（Ⅰ）求橢圓C₁的標準方程；
（Ⅱ）設(shè)E，F(xiàn)是橢圓C₁上的兩個動點，若直線AE，AF的傾斜角互補，證明：直線EF的斜率為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）方法一、由題意，c=1，可設(shè)橢圓方程代入已知點A，由a，b，c的關(guān)系，解方程求出a，b，由此能夠求出橢圓方程；
方法二、運用橢圓的定義可得2a=4，再由c=1，再由a，b，c的關(guān)系，求出b，由此能夠求出橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)直線AE方程為：y=k（x-1）+$\frac{3}{2}$，代入橢圓方程，由韋達定理，可得E的坐標，將k換為-k，可得F的坐標，由直線的斜率公式，計算即可得證．

解答 解：（Ⅰ）（法1）由已知，c=1，將點A代入橢圓方程，得$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{^{2}}$=1，
又a²-b²=1，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（法2）利用橢圓的定義：點A到兩個焦點的距離之和為2a，
所以2a=$\sqrt{（1+1）^{2}+\frac{9}{4}}$+$\frac{3}{2}$=4，即a=2，又c=1，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）證明：設(shè)直線AE方程為：y=k（x-1）+$\frac{3}{2}$，
代入$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，得（3+4k²）x²+4k（3-2k）x+4（$\frac{3}{2}$-k）²-12=0
設(shè)E（x_E，y_E），F(xiàn)（x_F，y_F），
因為點A（1，$\frac{3}{2}$）在橢圓上，
所以x_E=$\frac{4（\frac{3}{2}-k）^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，y_E=kx_E+$\frac{3}{2}$-k．
又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，
在上式中以-k代k，可得x_F=$\frac{4（\frac{3}{2}+k）^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，y_F=-kx_F+$\frac{3}{2}$+k，
所以直線EF的斜率k_EF=$\frac{{y}_{F}-{y}_{E}}{{x}_{F}-{x}_{E}}$=$\frac{-k（{x}_{F}+{x}_{E}）+2k}{{x}_{F}-{x}_{E}}$=$\frac{1}{2}$．
即直線EF的斜率為定值，其值為$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法和直線與橢圓的位置關(guān)系，解題時要認真審題，仔細解答，避免出錯．