Question

16．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}$，1），設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$．
（1）求f（$\frac{π}{2}$）的值；
（2）若f（α+$\frac{2π}{3}$）=$\frac{6}{5}$，α∈（-$\frac{π}{2}$，0）．求sin（α+$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合兩角和的正弦求得f（x），代入x=$\frac{π}{2}$得答案；
（2）把f（α+$\frac{2π}{3}$）=$\frac{6}{5}$代入（1）中的解析式，求得sin$α=-\frac{3}{5}$，再由α的范圍求得cosα，最后展開兩角和的正弦求得sin（α+$\frac{π}{3}$）的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}$，1），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=$\sqrt{3}cosx+sinx$=2（$\frac{1}{2}sinx+\frac{\sqrt{3}}{2}cosx$）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）．
則f（$\frac{π}{2}$）=2sin（$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{3}$）=2cos$\frac{π}{3}$=2×$\frac{1}{2}=1$；
（2）由f（α+$\frac{2π}{3}$）=$\frac{6}{5}$，得2sin（$α+\frac{2π}{3}$+$\frac{π}{3}$）=$\frac{6}{5}$，
即-2sinα=$\frac{6}{5}$，∴sin$α=-\frac{3}{5}$，
∵α∈（-$\frac{π}{2}$，0），∴cos$α=\frac{4}{5}$．
則sin（α+$\frac{π}{3}$）=sinαcos$\frac{π}{3}+cosαsin\frac{π}{3}$=$（-\frac{3}{5}）×\frac{1}{2}+\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$．

點(diǎn)評 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了三角函數(shù)的化簡求值，考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．