Question

16．設(shè)a＞0，b＞0，且a+b=$\frac{1}{a}+\frac{1}$
（1）證明：a+b≥2；
（2）a²+a≤2，求b²+b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）已知式子變形可得ab=1，由基本不等式可得；
（2）解不等式結(jié)合題意可得0＜a≤1，可得b=$\frac{1}{a}$≥1，由二次函數(shù)可得．

解答 解：（1）∵a＞0，b＞0，且a+b=$\frac{1}{a}+\frac{1}$，
∴a+b=$\frac{1}{a}+\frac{1}$=$\frac{a+b}{ab}$，解得ab=1，
∴a+b≥2$\sqrt{ab}$=2，
當且僅當a=b=1時取等號，
故a+b≥2；
（2）解a²+a≤2可解得-2≤a≤1，
由題意a＞0可得0＜a≤1，
由ab=1可得b=$\frac{1}{a}$，
由0＜a≤1可得b=$\frac{1}{a}$≥1，
配方可得b²+b=（b+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
由二次函數(shù)可知當b=1時，b²+b取最小值2，無最大值，
故b²+b的取值范圍為[2，+∞）

點評 本題考查基本不等式求最值，涉及二次函數(shù)求函數(shù)值域，屬中檔題．