Question

6．2016年春晚過后，為了研究演員上春晚次數(shù)與受關(guān)注度的關(guān)系，某站對(duì)其中一位經(jīng)常上春晚的演員上春晚次數(shù)與受關(guān)注度進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如下數(shù)據(jù)：

上春晚次數(shù)x（單位：次）	2	4	6	8	10
粉絲數(shù)量y（單位：萬人）	10	20	40	80	100

（Ⅰ）若該演員的粉絲數(shù)量y與上春晚次數(shù)x滿足線性回歸方程，試求回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$，并就此分析：該演員上春晚11次時(shí)的粉絲數(shù)量；
（Ⅱ）若用$\frac{y_i}{x_i}$（i=1，2，3，4，5）表示統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)時(shí)粉絲的“即時(shí)均值”（精確到整數(shù)）：
（1）求這5次統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)時(shí)粉絲的“即時(shí)均值”的方差；
（2）從“即時(shí)均值”中任選2組，求這兩組數(shù)據(jù)之和不超過15的概率．
參考公式：$\begin{array}{l}用最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式：\\ \widehatb=\frac{{\sum_{i-1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x•\overline y}}}{{\sum_{i-1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}=\frac{{\sum_{i-1}^n{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}}}{{\sum_{i-1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}，\widehata=\overline y-b\overline x\end{array}$．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)回歸系數(shù)公式計(jì)算回歸系數(shù)，得到回歸方程，并用回歸方程進(jìn)行數(shù)值估計(jì)；
（II）（1）求出5組即時(shí)均值，根據(jù)方差公式計(jì)算方差；（2）利用古典概型的概率公式計(jì)算．

解答 解：（Ⅰ）經(jīng)計(jì)算可得：$\overline x=6$，$\overline y=50$，…（1分）$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}$=1980，$\sum_{i=1}^5{x_i^2}$=220，…（3分）
$\widehat$=$\frac{1980-5×6×50}{220-5{×6}^{2}}$=12，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$=-22，
故回歸方程是：$\widehat{y}$=12x-22，
當(dāng)x=11時(shí)，$\widehat{y}$=12x-22=110．
該演員上春晚11次時(shí)的粉絲數(shù)量110萬人…（6分）
（Ⅱ）經(jīng)計(jì)算可知，這五組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的“即時(shí)均值”分別為：5，5，7，10，10，…（7分）
（1）這五組“即時(shí)均值”的平均數(shù)為：7.4，…（8分）
則方差為S²=$\frac{1}{5}[2×{（5-7.4）^2}+{（7-7.4）^2}+2×{（10-7.4）^2}]=5.04$；…（9分）
（2）這五組“即時(shí)均值”可以記為A₁，A₂，B，C₁，C₂，
從“即時(shí)均值”中任選2組，選法共有：
（A₁，A₂）（A₁，B）（A₁，C₁）（A₁，C₂）（A₂，B）
（A₂，C₁）（A₂，C₂）（B，C₁）（B，C₂）（C₁，C₂），
共10種情況，其中不超過15的情況有7種．
故所求概率為：P=$\frac{7}{10}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用最小二乘法求回歸直線方程，結(jié)合回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測(cè)，平均數(shù)、方差的計(jì)算，古典概型的計(jì)算．