Question

15．正四棱臺的兩底面邊長分別為1cm和2cm，它的側(cè)面積是$3\sqrt{5}c{m^2}$，求該正四棱臺的體積．

Answer 1

分析 連接棱臺的兩個底面中心，通過側(cè)棱長，求出高，利用棱臺的體積公式求出體積即可．

解答 解：正四棱臺ABCD-A₁B₁C₁D₁的上下底的中心分別為O₁，O．
∵棱臺的側(cè)面積是$3\sqrt{5}c{m^2}$，∴4×$\frac{1+2}{2}$×m=3$\sqrt{5}$，（m為斜高），
解得m=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，∴AA₁=$\sqrt{（\frac{\sqrt{5}}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
如圖$AO=\sqrt{2}$，A₁O₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴OO₁=$\sqrt{\frac{6}{4}-\frac{2}{4}}=1$，
∴正四棱臺的體積V=$\frac{1}{3}（1+4+\sqrt{1×4}）×1$=$\frac{7}{3}$．

點評 本題是基礎(chǔ)題，考查棱臺的有關(guān)知識，考查空間想象能力，計算能力，正確應(yīng)用棱臺的體積公式，�？碱}型．