Question

5．已知拋物線y²=4x與直線y=x-1交于A，B兩點(diǎn)．
（I）求該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程；
（Ⅱ）求線段AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程便可得到p=2，從而可以得出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；
（Ⅱ）聯(lián)立拋物線和直線方程，消去y可得到x²-6x+1=0，可設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），從而有x₁+x₂=6，可看出直線y=x-1過焦點(diǎn)，從而根據(jù)拋物線定義可得到|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+2，這樣便可求得線段AB的長(zhǎng)．

解答 解：（Ⅰ）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）；
準(zhǔn)線方程為 x=-1；
（Ⅱ）由方程組 $\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ y=x-1\end{array}\right.$得：
x²-6x+1=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則：x₁+x₂=6；
如圖，

直線y=x-1過焦點(diǎn)，A，B到準(zhǔn)線的距離分別為d₁，d₂；
由拋物線定義可知|AB|=|AF|+|BF|=d₁+d₂=x₁+x₂+2=8；
即線段AB的長(zhǎng)為8．

點(diǎn)評(píng) 考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，韋達(dá)定理，以及拋物線的定義．