Question

8．已知函數(shù)f（x）=x²-2x+2a，f（x）≤0的解集為{x|-2≤x≤m}．
（Ⅰ）求a，m的值；
（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式（c+a）x²+2（c+a）x-1＜0恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）得到-2，m是方程x²-2x+2a=0的根，組成方程組，解出即可；
（Ⅱ）通過討論c的范圍結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出c的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）≤0的解集為{x|-2≤x≤m}，
∴-2，m是方程x²-2x+2a=0的根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4+4+2a=0}\\{{m}^{2}-2m+2a=0}\end{array}\right.$，
解得：a=-4，m=4；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：a=-4，
（c+a）x²+2（c+a）x-1＜0，
即（c-4）x²+2（c-4）x-1＜0，
c-4=0，即c=4時(shí)，-1＜0，成立，
c-4≠0時(shí)，
若關(guān)于x的不等式（c+a）x²+2（c+a）x-1＜0恒成立，
則$\left\{\begin{array}{l}{c-4＜0}\\{△={4（c-4）}^{2}+4（c-4）＜0}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{13}{4}$＜c＜4，
綜上，$\frac{13}{4}$＜c≤4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)恒成立問題，是中檔題．