Question

【題目】如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線(xiàn)C1：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)，且拋物線(xiàn)C1上點(diǎn)M處的切線(xiàn)與圓C2：x2+y2=1相切于點(diǎn)Q．

（Ⅰ）當(dāng)直線(xiàn)MQ的方程為 時(shí)，求拋物線(xiàn)C1的方程；
（Ⅱ）當(dāng)正數(shù)p變化時(shí)，記S1 ， S2分別為△FMQ，△FOQ的面積，求 的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn) ，由x2=2py（p＞0）得， ，求導(dǎo) ，
而直線(xiàn)MQ的斜率為1，
∴ 且 ，
解得： ．
∴拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程：x2=4 y；
（Ⅱ）因?yàn)辄c(diǎn)M處的切線(xiàn)方程為： ，即 ，
根據(jù)切線(xiàn)又與圓相切，得d=r，即 ，化簡(jiǎn)得 ，
4p2=x04﹣4x02＞0，解得：丨x0丨＞2，
由方程組 ，解得：Q（ ， ），
由丨PQ丨= 丨xP﹣xQ丨= 丨x0﹣ 丨= （x02﹣2），
點(diǎn)F（0， ）到切線(xiàn)PQ的距離d= = = ，
則S1= 丨PQ丨d= （x02﹣2），S1= 丨OF丨丨xQ丨= ，
∴ = = = = + +3≥2 +3，
當(dāng)且僅當(dāng) = 時(shí)，取“=”號(hào)，即x02=4+2 ，此時(shí)p= ，
所以 的最小值為

【解析】（Ⅰ）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得 且 ，即可求得p的值，求得拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）求得切線(xiàn)方程，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可知 ，將切線(xiàn)方程代入橢圓方程，求得丨PQ丨，分別表示出S1 ， S2 ， 根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，即可求得 的最小值．