Question

已知函數(shù)f（x）=log₂x-1，對(duì)于滿足0＜x₁＜x₂的任意實(shí)數(shù)x₁、x₂，給出下列結(jié)論：
①[f（x₂）-f（x₁）]（x₁-x₂）＜0；
②x₂f（x₁）＞x₁f（x₂）；
③f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁；
④

f(x1)+f(x2)

2

＜f（

x1+x2

2

）．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論．

解答： 解：對(duì)于①．因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=lo

g

2

x-1是（0，+∞）上的增函數(shù)，所以△x=x₂-x₁＞0⇒△y=y₂-y₁＞0所以①不正確．
對(duì)于②．x₂f（x₁）＞x₁f（x₂）⇒

f(x1)

x1

＞

f(x2)

x2

⇒

f(x)

x

為（0，+∞）上的減函數(shù)，
即g(x)=

log2x-1

x

為（0，+∞）上的減函數(shù)，
而g′(x)=(

log2x-1

x

)′=

1 ln2 -log2x+1

x2

=

log22e-log2x

x2

⇒0＜x＜2e時(shí)g'（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，
或者取x2=8，x1=

1

2

代入得8f(

1

2

)=(8lo

g

2

1

2

-8)=-16，

1

2

f(8)=

1

2

lo

g

2

8-

1

2

=1，
顯然8f(

1

2

)＜

1

2

f(8)所以②不正確．
對(duì)于③．f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁⇒f（x₂）-x₂＞f（x₁）-x₁，即說(shuō)明函數(shù)g(x)=f(x)-x=lo

g

2

x-x-1是（0，+∞）上的增函數(shù)，而 g′(x)=(f(x)-x)′=

1

xln2

-1在區(qū)間(lo

g

2

e，+∞)上g'（x）＜0，所以③不正確．
對(duì)于④.

f(x1)+f(x2)

2

=

lo g   2 (x1x2)

2

-1=lo

g

2

x1x2

-1，f(

x1+x2

2

)=lo

g

2

x1+x2

2

-1，
又

x1+x2

2

＞

x1x2

(∵0＜x1＜x2)，
所以lo

g

2

x1+x2

2

＞lo

g

2

x1x2

，
即

f(x1)+f(x2)

2

＜f（

x1+x2

2

）．所以④正確
故答案為：④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意對(duì)數(shù)函數(shù)運(yùn)算公式的合理運(yùn)用．