Question

17．如圖，四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，且CD=2，AB=AD=1，∠BCD=45°
（1）若點(diǎn)M是PD的中點(diǎn)，證明：AM∥平面PBC
（2）若△PBC的面積為$\sqrt{2}$，求二面角B-PC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取PC的中點(diǎn)N，連結(jié)MN、NB，則MN∥DC且MN=$\frac{1}{2}$DC，從而四邊形ABNM是平行四邊形，利用線面平行的判定定理即得結(jié)論；
（2）連結(jié)BD，通過(guò)計(jì)算可得PB=2、PD=$\sqrt{2}$，建立坐標(biāo)系D-xyz，則二面角B-PC-D的余弦值即為平面PBC的法向量與平面PDC的法向量的夾角的余弦值，計(jì)算即可．

解答 （1）證明：取PC的中點(diǎn)N，連結(jié)MN、NB，
在△PDC中，MN是中位線，MN∥DC，且MN=$\frac{1}{2}$DC，
由題AB=1、CD=2，可知$AB=\frac{1}{2}CD$，AB∥DC，
∴AB=MN，AB∥MN，
∴四邊形ABNM是平行四邊形，∴AM∥BN，
又AM?平面PBC，BN?平面PBC，
∴AM∥平面PBC；
（2）解：連結(jié)BD，由題可知△BAD為等腰直角三角形，所以∠BDC=45°，
由題設(shè)∠BCD=45°，∴CB⊥BD，
又PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，
又PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD，∴BC⊥PB，
∴△PBC是直角三角形，且BC=BD=$\sqrt{2}$，
S_△PBC=$\frac{1}{2}$BC•PB=$\frac{1}{2}•\sqrt{2}•PB$=$\sqrt{2}$，
∴PB=2，PD=$\sqrt{P{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$，建立坐標(biāo)系D-xyz如圖，
則B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，$\sqrt{2}$），
$\overrightarrow{PB}$=（1，1，$-\sqrt{2}$），$\overrightarrow{PC}$=（0，2，$-\sqrt{2}$），
設(shè)平面PBC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{PB}$=x+y-$\sqrt{2}z$=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{PC}$=2y-$\sqrt{2}z$=0，
取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，$\sqrt{2}$），
又平面PDC的法向量為$\overrightarrow{DA}$=（1，0，0），
則$cos＜\overrightarrow{DA}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{1}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
顯然二面角B-PC-D為銳角，故所求余弦值為$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查中位線定理，線面平行的判定定理，向量數(shù)量積運(yùn)算，注意解題方法的積累，建立坐標(biāo)系是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．