Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx+\sqrt{3}cosx，0≤x≤π}\\{|co{s}^{2}x-si{n}^{2}x|，-π≤x＜0}\end{array}\right.$．
（1）求函數(shù)f（x）的值域與單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-m至少有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求函數(shù)f（x）的值域與單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-m至少有兩個零點(diǎn)，等價為函數(shù)f（x）與y=m至少有兩個交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)0≤x≤π時，f（x）=sinx+$\sqrt{3}cosx$=2sin（x+$\frac{π}{3}$），
此時$\frac{π}{3}$≤x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{4π}{3}$，則2sin$\frac{4π}{3}$≤f（x）≤2sin$\frac{π}{2}$，
即-$\sqrt{3}$≤f（x）≤2，
當(dāng)-π≤x＜0時，f（x）=|cos²x-sin²x|=|cos2x|，
則-2π≤2x＜0，則0≤f（x）≤1，
綜上-$\sqrt{3}$≤f（x）≤2，即函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-$\sqrt{3}$，2]，
當(dāng)$\frac{π}{3}$≤x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$，即0≤x≤$\frac{π}{6}$時，函數(shù)遞增，
當(dāng)-π≤x＜0時，由圖象知，函數(shù)的遞增區(qū)間為[$-\frac{3π}{4}$，$-\frac{π}{2}$]，[-$\frac{π}{4}$，0），
綜上函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，$\frac{π}{6}$]，[$-\frac{3π}{4}$，$-\frac{π}{2}$]，[-$\frac{π}{4}$，0）；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-m至少有兩個零點(diǎn)，
即f（x）-m=0，至少有兩個根，
即f（x）=m至少有兩個根，
則函數(shù)f（x）與y=m的圖象至少有兩個交點(diǎn)，
由圖象知當(dāng)0≤m≤1或$\sqrt{3}$≤m＜2，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是0≤m≤1或$\sqrt{3}$≤m＜2．

點(diǎn)評 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)判斷，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．