Question

16．已知A₁，A₂為雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右頂點(diǎn)，以線段A₁A₂為直徑的圓與雙曲線C的漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為（1，$\sqrt{3}$），則C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，點(diǎn)（1，$\sqrt{3}$）到原點(diǎn)的距離為半徑，可得a=2．由點(diǎn)（1，$\sqrt{3}$）在雙曲線的漸近線上，得到$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，兩式聯(lián)解得出a=2，b=2$\sqrt{3}$，即可得到所求雙曲線的方程．

解答 解：∵點(diǎn)（1，$\sqrt{3}$）在以|A₁A₂|為直徑的圓上，
∴a=$\sqrt{1+3}$=2，①
又∵點(diǎn)（1，$\sqrt{3}$）在雙曲線的漸近線y=$\frac{a}$x上，
∴$\frac{a}$=$\sqrt{3}$②，
①②聯(lián)解，得a=2，b=2$\sqrt{3}$，
可得雙曲線的方程$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運(yùn)用漸近線方程和圓的定義，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．