Question

6．已知F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{2}^{2}}$=1（a＞0）的左、右焦點，P為雙曲線上的一點，若∠F₁PF₁=60°，則△F₁PF₂的面積是（　�。�

• A． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• B． 4$\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 由題意可得F₂（$\sqrt{{a}^{2}+4}$，0），F(xiàn)₁ （-$\sqrt{{a}^{2}+4}$，0），由余弦定理可得 PF₁•PF₂=16，由S=$\frac{1}{2}$PF₁•PF₂sin60°，即可求得△F₁PF₂的面積．

解答 解：由題意可得F₂（$\sqrt{{a}^{2}+4}$，0），F(xiàn)₁ （-$\sqrt{{a}^{2}+4}$，0），
在△PF₁F₂中，由余弦定理可得 
F₁F₂²=16+4a²=PF₁²+PF₂²-2PF₁•PF₂cos60°
=（PF₁-PF₂）²+PF₁•PF₂=4a²+PF₁•PF₂，
即有PF₁•PF₂=16．
可得S_△${\;}_{P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$PF₁•PF₂sin60°=$\frac{1}{2}$×16×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$．
故選：B．

點評 本題考查三角形的面積的求法，注意運用三角形的余弦定理和面積公式，同時考查雙曲線的定義，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．