Question

1．以雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）上一點M為圓心的圓與x軸恰相切于雙曲線的一個焦點F，且與y軸交于P、Q兩點．若△MPQ為銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的范圍是（　�。�

• A． $（\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{2}，+∞）$
• B． （$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$）
• C． $（\sqrt{6}+\sqrt{2}，+∞）$
• D． $（1，\sqrt{6}+\sqrt{2}）$

Answer 1

分析 M為圓心的圓與x軸恰相切于雙曲線的一個焦點F，可得MF垂直于x軸，由△MPQ為銳角三角形，可得∠PMQ為銳角，即0＜$\frac{1}{2}$∠PMQ＜$\frac{π}{4}$，設M的坐標為（c，y），則由題意y＞c＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$y，利用點在雙曲線上，代入雙曲線方程，解得y，代入不等式，結合離心率公式，解不等式可得所求范圍．

解答 解：M為圓心的圓與x軸恰相切于雙曲線的一個焦點F，
可得MF垂直于x軸，由△MPQ為銳角三角形，
可得∠PMQ為銳角，即0＜$\frac{1}{2}$∠PMQ＜$\frac{π}{4}$，
設M的坐標為（c，y），y＞0，
可得y＞c＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$y，
∴y²＞c²＞$\frac{1}{2}$y²，
∵$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
∴y²=b²（$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-1），
∴c²＜b²（$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-1）＜2c²，
∴c²＜（c²-a²）（$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$）＜2c²，
∴e²＜（e²-1）²＜2e²，
即e＜e²-1＜$\sqrt{2}$e，
∴$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$＜e＜$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的幾何性質，主要是離心率的范圍，注意運用三角形為銳角三角形的條件，考查學生的計算能力，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．