Question

3．已知O為三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{OB}$+（λ-1）$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$．若△OAB的面積與△OAC的面積比值為$\frac{1}{3}$，則λ的值為（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． 2
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 取BC，AB的中點(diǎn)D，E，由向量加法的幾何意義可得2λ$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{AC}$，故O在中位線DE上，根據(jù)三角形的面積比得出λ的值．

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{OB}$+（λ-1）$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$．∴λ（$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$）=$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{AC}$．
取BC的中點(diǎn)D，AB的中點(diǎn)E，則2λ$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{AC}$，
∴O在線段DE上．且2λOD=AC=2DE，∴λ=$\frac{DE}{OD}$．
設(shè)OD=1，則DE=λ，∴OE=λ-1．
∵$\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{ABD}}=\frac{OE}{DE}=\frac{λ-1}{λ}$，S_△ABD=S_△AOC=$\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$，
∴$\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{△AOC}}=\frac{λ-1}{λ}$=$\frac{1}{3}$，解得$λ=\frac{3}{2}$．
故選A．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量線性運(yùn)算的幾何意義，屬于中檔題．