Question

7．“一江春水向東流，江中浮玉千古幽”，中流砥柱焦山四面環(huán)江（如圖所示）．若江水以12.5km/h的速度自西向東流，游客需在長江南岸的A碼頭乘船出發(fā)，0.1h后到達焦山島的入口B碼頭，設$\overrightarrow{AN}$為正北方向，$\overrightarrow{AE}$為正東方向，B碼頭在A碼頭北偏西30°方向上，并與A碼頭相距0.75km．
（1）求船的靜水速度；
（2）求航行過程中船頭方向與正北方向的夾角余弦值．

Answer 1

分析 （1）可由條件得出船的實際航行速度為7.5km/h，可用向量的知識求船的靜水速度：作有向線段$\overrightarrow{AC}$表示水流速度，$\overrightarrow{AD}$表示船的實際速度，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則作平行四邊形ACDE，然后由余弦定理即可求出船的靜水速度；
（2）由正弦定理可求出sin∠DAE的值，從而得出cos∠DAE的值，由兩角和的余弦公式即可求出cos（∠DAE+30°），即求出航行過程中船頭方向與正北方向的夾角余弦值．

解答 解：（1）根據(jù)題意知，船的實際航行速度為7.5km/h；
如圖，作向量$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{AD}$，使$|\overrightarrow{AC}|=12.5，|\overrightarrow{AD}|=7.5$，$\overrightarrow{AC}$和$\overrightarrow{AE}$同向，$\overrightarrow{AD}$和$\overrightarrow{AB}$同向，連接CD，過A作CD平行線，過D作AC平行線，兩平行線交于點E：則，在ADE中，AD=7.5，DE=12.5，∠ADE=120°，由余弦定理得：
AE²=AD²+DE²-2AD•DEcos120°=$7．{5}^{2}+12．{5}^{2}+2×7.5×12.5×\frac{1}{2}$=306.25；
∴AE=17.5；
∴船的靜水速度為17.5km/h；
（2）由正弦定理，$\frac{DE}{sin∠DAE}=\frac{AE}{sin∠ADE}$；
即$\frac{12.5}{sin∠DAE}=\frac{17.5}{sin120°}$；
∴$sin∠ADE=\frac{5\sqrt{3}}{14}$，∴$cos∠ADE=\frac{11}{14}$；
據(jù)題意知，航行過程中船頭方向與正北方向的夾角為∠DAE+30°；
∴cos（∠DAE+30°）=cos∠DAEcos30°-sin∠DAEsin30°=$\frac{11}{14}×\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{5\sqrt{3}}{14}×\frac{1}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{14}$．

點評 考查用向量的方法解決實際問題的能力，向量加法的平行四邊形法則，以及正余弦定理，兩角和的余弦公式．