Question

12．過(guò)物線(xiàn)y²=4x上意一點(diǎn)P向圓（x-4）²+y²=2作切線(xiàn)，切點(diǎn)為A，則|PA|的最小值等于$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 設(shè)P$（\frac{{y}^{2}}{4}，y）$，（x-4）²+y²=2圓心C（4，0），半徑r=$\sqrt{2}$．可得|PA|=$\sqrt{|PC{|}^{2}-{r}^{2}}$，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：設(shè)P$（\frac{{y}^{2}}{4}，y）$，（x-4）²+y²=2圓心C（4，0），半徑r=$\sqrt{2}$．
∴|PA|=$\sqrt{|PC{|}^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{{y}^{2}}{4}-4）^{2}+{y}^{2}-2}$=$\sqrt{\frac{1}{16}（{y}^{2}-8）^{2}+10}$≥$\sqrt{10}$，當(dāng)且僅當(dāng)y=$±2\sqrt{2}$，即取點(diǎn)P$（2，±2\sqrt{2}）$時(shí)，取等號(hào)．
故答案為：$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線(xiàn)與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、兩點(diǎn)之間的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．