Question

20．動(dòng)圓M與圓（x-1）²+y²=1相外切且與y軸相切，則動(dòng)圓M的圓心的軌跡記C，（1）求軌跡C的方程；（2）定點(diǎn)A（3，0）到軌跡C上任意一點(diǎn)的距離|MA|的最小值；（3）經(jīng)過定點(diǎn)B（-2，1）的直線m，試分析直線m與軌跡C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，并指明相應(yīng)的直線m的斜率k是否存在，若存在求k的取值或取值范圍情況[要有解題過程，沒解題方程只有結(jié)論的只得結(jié)論分]．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出動(dòng)圓圓心M的坐標(biāo)，利用動(dòng)圓M與y軸相切且與圓（x-1）²+y²=1外切建立方程，化簡得答案；
（2）設(shè)M的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合配方法求得定點(diǎn)A（3，0）到軌跡C上任意一點(diǎn)的距離|MA|的最小值；
（3）寫出過B斜率存在的直線方程，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，由判別式等于0求得k值，再結(jié)合圖形求得直線m與軌跡C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，并分析對應(yīng)的斜率情況．

解答 解：（1）設(shè)動(dòng)圓圓心M的坐標(biāo)為（x，y），則$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}-1=|x|$
∴（x-1）²+y²=x²+2|x|+1，
當(dāng)x＜0時(shí)，y=0；當(dāng)x≥0時(shí)，y²=4x；
（2）如圖，由圖可知，M到軌跡C上的點(diǎn)與A的距離最小，則M在拋物線y²=4x上，
設(shè)M（x，y），則|MA|=$\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}=\sqrt{{x}^{2}-6x+9+4x}$=$\sqrt{{x}^{2}-2x+1+8}$=$\sqrt{（x-1）^{2}+8}$．
∴當(dāng)x=1，即M（1，±2）時(shí)，|MA|的最小值為$2\sqrt{2}$；
（3）設(shè)過B與拋物線y²=4x相切的直線方程為y-1=k（x+2），即y=kx+2k+1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2k+1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得k²x²+（4k²+2k-4）x+4k²+4k+1=0．
由△=（4k²+2k-4）²-4k²（4k²+4k+1）=0，解得：k=-1或k=$\frac{1}{2}$．
∴當(dāng)直線m的斜率k不存在時(shí)或斜率存在為0時(shí)或直線m的斜率k∈（$\frac{1}{2}$，+∞）∪（-∞，-1）時(shí)，m與C有1個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)直線m的斜率為k=-1或k=$\frac{1}{2}$或k∈[-$\frac{1}{2}$，0）時(shí)，m與C有2個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)直線m的斜率k∈（0，$\frac{1}{2}$）∪（-1，-$\frac{1}{2}$）時(shí)，m與C有3個(gè)交點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查軌跡方程的求法，考查了直線與拋物線位置關(guān)系的判斷，考查數(shù)形結(jié)合與分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．