Question

17．已知拋物線C的頂點在原點，焦點F在x軸的正半軸上，設(shè)A，B是拋物線C上的兩個動點（AB不垂直于x軸），且AF+BF=8，線段AB的垂直平分線恒經(jīng)過定點Q（6，0），求此拋物線的方程．

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)出拋物線方程，求得焦點和準(zhǔn)線方程，由拋物線的定義，知|AF|+|BF|=x₁+x₂+p=8．由點Q（6，0）在線段AB的垂直平分線上，知|QA|=|QB|，運用兩點的距離公式和點滿足拋物線方程，解方程可得p=4，由此能求出拋物線的方程．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
設(shè)拋物線的方程為y²=2px（p＞0），可得準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{p}{2}$，焦點為（$\frac{p}{2}$，0），
由拋物線的定義可得|AF|+|BF|=x₁+$\frac{p}{2}$+x₂+$\frac{p}{2}$=x₁+x₂+p=8，
即x₁+x₂=8-p．
由點Q（6，0）在線段AB的垂直平分線上，
可得|QA|=|QB|即（x₁-6）²+y₁²=（x₂-6）²+y₂²，
又y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
則（x₁-6）²+2px₁=（x₂-6）²+2px₂，
整理得（x₁-x₂）（x₁+x₂-12+2p）=0．
由x₁≠x₂，可得x₁+x₂-12+2p=0，
即x₁+x₂=12-2p=8-p，
解得p=4，
則拋物線的方程為y²=8x．

點評 本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識，解題時要注意運用定義合理地進行等價轉(zhuǎn)化．