Question

17．已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在x軸的正半軸上，設(shè)A，B是拋物線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（AB不垂直于x軸），且AF+BF=8，線段AB的垂直平分線恒經(jīng)過定點(diǎn)Q（6，0），求此拋物線的方程．

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)出拋物線方程，求得焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，由拋物線的定義，知|AF|+|BF|=x₁+x₂+p=8．由點(diǎn)Q（6，0）在線段AB的垂直平分線上，知|QA|=|QB|，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式和點(diǎn)滿足拋物線方程，解方程可得p=4，由此能求出拋物線的方程．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
設(shè)拋物線的方程為y²=2px（p＞0），可得準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{p}{2}$，焦點(diǎn)為（$\frac{p}{2}$，0），
由拋物線的定義可得|AF|+|BF|=x₁+$\frac{p}{2}$+x₂+$\frac{p}{2}$=x₁+x₂+p=8，
即x₁+x₂=8-p．
由點(diǎn)Q（6，0）在線段AB的垂直平分線上，
可得|QA|=|QB|即（x₁-6）²+y₁²=（x₂-6）²+y₂²，
又y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
則（x₁-6）²+2px₁=（x₂-6）²+2px₂，
整理得（x₁-x₂）（x₁+x₂-12+2p）=0．
由x₁≠x₂，可得x₁+x₂-12+2p=0，
即x₁+x₂=12-2p=8-p，
解得p=4，
則拋物線的方程為y²=8x．

點(diǎn)評 本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識，解題時(shí)要注意運(yùn)用定義合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．