Question

3．已知x，y為正實(shí)數(shù)，且（x+y）（x-2y）=1，則2x+y的最小值為$\frac{2\sqrt{5}}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)（x+y）=m，（x-2y）=n，聯(lián)立解得y和x，換元為m和n，由基本不等式可得．

解答 解：設(shè)（x+y）=m（m＞0），（x-2y）=n，則mn=1，n=$\frac{1}{m}$，
聯(lián)立解得y=$\frac{1}{3}$m-$\frac{1}{3}$n，x=$\frac{2}{3}$m+$\frac{1}{3}$n，
∴2x+y=$\frac{5}{3}$m+$\frac{1}{3}$n=$\frac{5}{3}$m+$\frac{1}{3m}$≥2$\sqrt{\frac{5m}{3}•\frac{1}{3m}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{5}{3}$m=$\frac{1}{3m}$時(shí)取等號(hào)，
故答案為：$\frac{2\sqrt{5}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式求最值，換元是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．