Question

3．甲、乙兩地相距200千米，小型卡車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過150千米/小時，已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（單位：千米/小時）的平方成正比，且比例系數(shù)為$\frac{1}{250}$；固定部分為40元．
（1）把全程運輸成本y元表示為速度v千米/小時的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域，
（2）為了使全程運輸成本最小，卡車應(yīng)以多大速度行駛？

Answer 1

分析 （1）依題意知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為$\frac{200}{v}$小時，即可求出全程運輸成本；
（2）用基本不等式求求出全程運輸成本的最小值，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵甲、乙兩地相距200千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過150千米/小時，
汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：
可變部分與速度v千米/小時的平方成正比，比例系數(shù)為0.02；固定部分為50元/小時．
∴汽車從甲地勻速行駛到乙地的時間為$\frac{200}{v}$小時，
全程運輸成本y（元）與速度v（千米/時）的函數(shù)關(guān)系是：$y=\frac{200}{v}（\frac{1}{250}{v^2}+40）0＜v≤150$
（2）$y=\frac{200}{v}（\frac{1}{250}{v^2}+40）=\frac{4}{5}v+\frac{8000}{v}≥2\sqrt{\frac{4}{5}v•\frac{8000}{v}}=160（0＜v≤150）$
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{4}{5}v=\frac{8000}{v}即v=100$時等號成立．

點評 本小題主要考查建立函數(shù)關(guān)系、不等式性質(zhì)、最大值、最小值等基礎(chǔ)知識，考查綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識、思想和方法解決實際問題的能力．