Question

10．定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x），如果對任意x∈（0，+∞），恒有f（kx）=kf（x），（k≥2，k∈N⁺）成立，則稱f（x）為k階縮放函數(shù)．
（1）已知函數(shù)f（x）為二階縮放函數(shù)，且當(dāng)x∈（1，2]時，f（x）=1+log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，求f（2$\sqrt{2}$）的值；
（2）已知函數(shù)f（x）為二階縮放函數(shù)，且當(dāng)x∈（1，2]時，f（x）=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$，求證：函數(shù)y=f（x）-x在（1，+∞）上無零點；
（3）已知函數(shù)f（x）為k階縮放函數(shù)，且當(dāng)x∈（1，k]時，f（x）的取值范圍是[0，1），求f（x）在（0，kⁿ⁺¹]（n∈N）上的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二階縮放函數(shù)的定義，直接代入進(jìn)行求值即可；
（2）根據(jù)函數(shù)零點的定義和性質(zhì)判斷函數(shù)y=f（x）-x在（1，+∞）上無零點；
（3）根據(jù)k階縮放函數(shù)成立的條件建立條件關(guān)系即可求出結(jié)論．

解答 解：（1）由$\sqrt{2}$∈（1，2]得，f（$\sqrt{2}$）=1+1+log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\sqrt{2}$=$\frac{1}{2}$…（2分）
由題中條件得f（2$\sqrt{2}$）=2f（$\sqrt{2}$）=2×$\frac{1}{2}$=1…（4分）
（2）當(dāng)x∈（2ⁱ，2ⁱ⁺¹]（i=0，1，2）時，$\frac{x}{{2}^{i}}$∈（1，2]，依題意可得：f（x）=2f（$\frac{x}{2}$）=2²f（$\frac{x}{{2}^{2}}$）=…=2ⁱf（$\frac{x}{{2}^{i}}$）=2ⁱ$\sqrt{2•\frac{x}{{2}^{i}}-（\frac{x}{{2}^{i}}）^{2}}$=$\sqrt{{2}^{i+1}x-{x}^{2}}$．…（6分）
方程f（x）-x=0?$\sqrt{{2}^{i+1}x-{x}^{2}}$=x?x=0或x=2ⁱ，0與2ⁱ均不屬于（2ⁱ，2ⁱ⁺¹]（（i=0，1，2））…（8分）
當(dāng)x∈（2ⁱ，2ⁱ⁺¹]（（i=0，1，2））時，方程f（x）-x=0無實數(shù)解．
注意到（1，+∞）=（2⁰，2¹]∪（2¹，2²]∪（2²，2³）∪…，所以函數(shù)y=f（x）-x在（1，+∞）上無零點．…（10分）
（3）當(dāng)x∈（k^j，k^j+1]，j∈Z時，有$\frac{x}{{k}^{j}}$∈（1，k]，依題意可得：f（x）=kf（$\frac{x}{k}$）=k²f（$\frac{x}{{k}^{2}}$）=…=k^jf（$\frac{x}{{k}^{j}}$）
當(dāng)x∈（1，k]時，f（x）的取值范圍是[0，1）…（12分）
所以當(dāng)x∈（k^j，k^j+1]，j∈Z時，f（x）的取值范圍是[0，k^j）．…（14分）
由于（0，kⁿ⁺¹]=（kⁿ，kⁿ⁺¹]∪（k^n-1，kⁿ]∪…∪（k⁰，k]∪（k^-1，k⁰]∪…（16分）
所以函數(shù)f（x）在（0，kⁿ⁺¹]（n∈N）上的取值范圍是：[0，kⁿ）∪[0，k^n-1）∪…∪[0，k⁰）∪[0，k^-1）∪…=[0，kⁿ）．…（18分）

點評 本題主要考查新定義的應(yīng)用，正確理解k階縮放函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵，綜合性強(qiáng)，難度較大．