Question

19．設ABCD為xOy平面的一個正方形，其頂點是A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），u=2xy，v=x²-y²是xOy平面到uOv平面的變換，則正方形ABCD的像（u，v）點集是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 由題意，分x與y同號，異號討論，從而求解．

解答 解：∵A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），
∴①AB的方程為：y=0，（0≤x≤1），
此時u=2xy=0，v=x²-y²=x²∈[0，1]，
此時所有的點的軌跡是原點與（0，1）點連接所成的線段；
②BC的方程為：x=1，（0≤y≤1），
此時u=2xy=2y，v=x²-y²=1-y²，
此時v=1-$\frac{1}{4}$u²，
此時所有的點的軌跡是（2，0）與（0，1）點連接所成的拋物線的一部分；
③CD的方程為：y=1，（0≤x≤1），
此時u=2xy=2x，v=x²-y²=x²-1，
此時v=$\frac{1}{4}$u²-1，
此時所有的點的軌跡是（2，0）與（0，-1）點連接所成的拋物線的一部分；
④AD的方程為：x=0，（0≤y≤1），
此時u=2xy=0，v=x²-y²=-y²∈[-1，0]，
此時所有的點的軌跡是原點與（0，-1）點連接所成的線段；
綜上可得：正方形ABCD的像（u，v）點集是：

故選：A．

點評 本題考查了函數(shù)圖象的變換，屬于基礎題